ukuran penyebaran

BAB IV

UKURAN PENYEBARAN

4.1       Pengertian dan Batasan Ukuran Penyebaran

Untuk dapat mendeskripsikan sifat-sifat yang dimiliki oleh sekelompok data, terutama dalam membandingkan sifat-sifat yang dimiliki oleh masing-masing data terhadap kelompoknya atau membandingkan sifat-sifat yang dimiliki sekelompok data relative terhadap kelompok  data lainnya. Perlu adanya ukuran penyebaran/ukuran dispersi atau disebut ukuran variasi sebagai pelengkap dari nilai sentral, sehingga gambaran sekelompok data menjadi lebih jelas. Tujuan bab ini, setelah mempelajari bab ini mahasiswa diharapkan dapat memahami dengan baik mengenai ukuran penyebaran, menghitung dan memberikan intmerprestasi terhadap nilainya. Disamping itu, mahasiswa diharapkan dapat memahami dalil Chebysev dan angka baku, dan mampu menginterprestasikan terhadap nilainya.

Misalkan kita memiliki 2 buah sampel cat tembok merek A dan B, dengan ukuran sampel masing-masing  5. Setelah diteliti beratnya dalam kg diperoleh data sebagai berikut:

Sampel A:  5,1    4,9     5,2      4,8     5,0  →  x=5 Sampel B :5,0   5,9     4,1      4,3    5,7 → x =5

Kedua sampel memiliki rata-rata yang sama yaitu 5.kg.  Akan tetapi berat cat tembok merek A lebih seragam daripada merek B atau berat cat tembok merek B lebih bervariasi daripada cat tembok merek A. oleh karena itu, bila ingin membeli cat tembok yang beratnya sesuai dengan labelnya yaitu 5kg.  Kita lebih percaya membeli cat tembok merek A.

Jadi yang dimaksud dengan penyebaran atau dispersi suatu data adalah: seberapa jauh suatu data berada atau menyebar dari pusat serangkaian/kelompok data tersebut.  Sedangkan ukuran yang menyatakan jauh dekatnya suatu data  ke pusat (rata-rata) serangkaian data disebut ukuran penyebaran. Semakin jauh letak suatu data dari pusat serangkaian datanya atau semakin besar beda antara nilai suatu data terhadap nilai pusat data , maka semakin besar dispersi data tersebut.  Ada dua macam ukuran penyebaran, yaitu ukuran penyebaran absolut (range, deviasi, dan deviasi standar), dan ukuran penyebaran relative (koefisien range, koefisien deviasi kuartil, koefisien deviasi rata-rata dan koefisien variasi).

4.2       Ukuran Dispersi Absolut

Ukuran dispersi absolut adalah ukuran dispersi yang hanya dapat digunakan untuk melihat seberapa jauh (nilai) suatu data menyebar dari nilai pusat (rata-rata) serangkaian/kumpulan data  tersebut, dan bukan untuk membandingkan variasi beberapa rangkaian/kumpulan data.

4.2.1        Range

Range (jarak) serangkaian data adalah selisih nilai (data) terbesar dengan nilai (data) yang terkecil dalam rangkaian data tersebut. Range merupakan ukuran variasi yang paling mudah dihitung.

a.       Range Data yang belum dikelompokan

Range data tidak berkelompok dapat dihitung dengan rumus

R = x_n – x₁

R =  range / jarak/ jangkauan

x_n = nilai data (pengamatan) terbesar

x₁ = nilai data (pengamatan) terkecil

Contoh  4-1

Besarnya keuntungan yang diperoleh oleh seorang pedagang selama lima bulan terakhir (dalam jutaan rupiah) sebagai berikut: 5,0     5,1       6,0       6,3       7,0       hitunglah range nya:

Penyelesaian

R = x_n – x₁

            = 7,0 – 5,0

            = 2,0

Jadi range data tersebut adalah 2

b.      Range data yang telah dikelompokan

Bila datanya sudah disusun dalam tabel frekuensi, rangennya dapat dihitung dengan rumus:

R = Batas bawah kelas terakhir – batas bawah kelas pertama atau

R = nilai tengah tertinggi – nilai tengah terendah

Contoh 4-2

Data tabel 4.1. dibawah ini menunjukan hasil omset 70 pedagang kaki lima di Kota Ternate

Omzet (jutaan Rp)	Banyaknya pedagang  (jiwa)	Nilai tengah  (mi)
20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89	1 4 7 13 25 15 5	24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5
Total	70

Penyelesaian

Batas bawah kelas pertama adalah 20. Batas bawah kelas terakhir adalah 80. Maka jangkauannya

R = 80 – 20

    = 60

Atau

Nilai tengah kelas pertama adalah 24,5 nilai tengah kelas terakhir adalah 84,5. Maka jangkaunanya

R = 84,5 – 24,5

    = 60

Jadi jangkauannya adalah 60 juta rupiah

4.2.2        Deviasi Kuartil

Deviasi kuarti (Q_D) serangkaian data adalah selisih nilai kuartil ke tiga (K3) dan kuartil pertama (K1) dibagi 2. Untuk menghitung deviasi kuartil data tak berkelompok maupun data yang berkelompok dipakai rumus sebai berikut:

Q_D = K3-K12

Q_D = deviasi kuartil

K3 = nilai kuartil ke-3

K1 = nilai kuartil ke-1

Contoh 4-3

Hitunglah deviasi kuartil pada tabel 4.1 didapat K1 = 53,73 dan K3 = 71,17 maka

Q_D = K3-K12  =   71,17 -53,732  = 8,72

Jadi deviasi kuartil dari omzet penjualan 70 pedagang adalah 8,72 juta

4.2.3        Deviasi Rata-rata

Deviasi rata-rata(AD) serangkaian data adalah rata-rata dari jumlah selisih mutlak nilai data terhadap nilai rata-ratanya.

(1)   Deviasi Rata-Rata Data Yang Belum Dikelompokan

Deviasa rata-rata dari suatu sampel dirumuskan

AD =  ∑xi-x n

AD = deviasi rata-rata

xi  = Nilai data yang ke-i

x    = rata-rata hitung

n  = Banyaknya data/pengamatan      

Contoh 4-4

Pengeluaran perbulan dari 5 orang ibu rumah tangga untuk keperluan biaya hidup (dalam ratusan ribu rupiah) pada tahun 2006 adalah sebagai berikut: 3     4          4,5       5        6

Tentukanlah deviasi rata-ratanya

Penyelesaian

Tabel 4.2 : Menghitung Deviasi rata-rata Biaya Hidup 5 Ibu Rumah Tangga

Ibu Rumah Tangga	Pengeluaran Bulanan (Xi)	xi -  x	xi-x
A B C D E	3 4 4,5 5 6	-1,5 -0,5 0 0,5 1,5	1,5 0,5 0 0,5 1,5
Total	22,5	0	4

x  =  xin  =   22,55  = 4,5

AD =  ∑xi-x n

      = 45   = 0,8

Jadi deviasi rata-rata biaya hidup 5 ibu rumah tangga tersebut adalah 0,8 ratus ribu rupiah (=Rp.800.000). Nilai AD = Rp.800.000, memiliki arti bahwa secara rata-rata kelima pengeluaran untuk biaya hidup ibu rumah tangga tersebut menyimpang sebesar Rp.800.000 dari nilai rata-ratanya.

(2)   Deviasi Rata-rata Data Yang Telah Dikelompokan

Deviasi rata-rata data berkelompok dirumuskan sebagai berikut

AD =  ∑fimi-x n

AD = deviasi rata-rata

mi  = Nilai tengah kelas ke-i

x    = rata-rata hitung

n  = Banyaknya data sampel/ukuran  sampel

fi  = frekuensi absolut kelas ke-i

Contoh 4-5

Berdasarkan data 4.1. hitunglah deviasi rata-rata omzet penjualan 70 pedagang kaki lima

Penyelesaian   

Tabel 4.3. Menghitung deviasi rata-rata omzet 70 pedagang kaki lima

Omzet (jutaan Rp)	fi	(mi)	mi - x	fimi-x	fi mi
20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89	1 4 7 13 25 15 5	24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5	-37,43 -27,43 -17,43 -7,43 2,57 12,57 22,57	37,43 109,72 122,01 96,59 64,25 188,55 112,85	24,5 138,0 311,5 708,5 1612,5 1117,5 422,5
Total	70			731,4	4335

Sumber : tabel 4.1

Dihitung terlebih dahulu rata-ratanya per rumus

x  =  ∑fimin

x  =  433570  = 61,93

AD =  ∑fimi-x n  =   731,470  = 10,45

Jadi, deviasi rata-rata omzet penjualan bagi 70 pedagang kaki lima tersebut adalah 10,45 juta rupiah

Interprestasi nilai AD. Nilai AD = Rp. 10.450.000 memiliki arti bahwa secara rata-rata ketujuh puluh omzet pedagang kaki lima dari nilai rata-ratanya (x  = 61,93 juta rupiah)

4.2.4        Varians dan Deviasi Standar

Ukuran variasi (dispersi)yang paling banyak digunakan dalam analisis statistik ialah deviasi standar (simpangan baku). Deviasi standar/simpangan baku serangkaian kelompok data adalah akar kuadrat dari varians nya atau sebaliknya varians sekelompok data adalah pangkat dua dari simpangan bakunya. Yang dimaksud dengan varians adalah jumlah dari kuadrat deviasi masing-masing data terhadap rata-rata hitungnya, dibagi banyaknya data atau pengamatan. Varians dan deviasi standar dari serangkaian atau sekelompok data didasarkan pada deviasi setiap data atau pengamatan terhadap rata-rata hitungnya.

a.       Varians dan Deviasi Standar Sampel Data yang Belum Dikelompokan

1.      Varians dan Deviasi Standar Sampel Ukuran kecil (n ≤  30). Bila  sampelnya ukuran kecil, varians dan simpangan baku sekolompok data, dapat dihitung melalui rumus sebagai berikut :

S2 = ( x-x )2n-1

Varians

S = ( x-x )2n-1

Deviasi standar simpangan baku

S = simpangan baku (deviasi standar)

n = ukuran sampel

S² = Varians (keragaman)

x   = rata-rata hitung sampel (mean)

x_i = nilai data yang ke i

2.      Varians dan Deviasi Standar Sampel Ukuran besar (n > 30). Bila  sampelnya ukuran besar, varians dan simpangan baku sekolompok data, dapat dihitung melalui rumus sebagai berikut :

Varians

S² = ( x-x )2n

Deviasi standar / simpangan baku

   S = ( x-x )2n

S = simpangan baku (deviasi standar)

n = ukuran sampel

S² = Varians (keragaman)

x   = rata-rata hitung sampel (mean)

x_i = nilai data yang ke i

Contoh 4-6

Tingkat suku bunga deposito berjangka 3 bulan (% per tahun) untuk enam valuta asing yang ditawarkan oleh Bank Pembangunan, dicatat sebagai berikut:

Tabel 4.4. Tingkat suku bunga berjangka 6 valuta asing

Valuta Asing	Tingkat Suku Bunga (% per Tahun)
AUS $ Pound Yen Sin $ DM HK $	6,50 6,50 3,00 3,50 5,50 4,50

Sumber : Data Estimasi

Dengan menganggap data tersebut sampel acak

a.       Hitunglah variansnya

b.      Hitunglah deviasi standar keenam tingkat suku bunga valuta asing tersebut. Berikan interprestasi terhadap nilainya.

Penyelesaian

a)      Menghitung varians keenam tingkat suku bunga tersebut

Tabel 4.5. Menghitung Varians dan Simpangan Baku

Tingkat Suku Bunga 6 Valuta Asing

Valuta Asing	Tingkat Suku Bunga (Xi)	xi - x	(xi - x )2
AUS $ Pound Yen Sin $ DM HK $	6,50 6,50 3,00 3,50 5,50 4,50	1,58 1,58 -1,92 -1,42 0,58 -0,42	2,50 2,50 3,69 2,02 0.34 0,18
Total	29,5		11,23

Dari tabel 4.5 diatas dapat diketahui bahwa:

N = 6 < 30,      ∑xi = 29,5       dan ∑(xi - x )² = 11,23

Maka x  = ∑xin  = 29,56  = 4,92

Dan

S² = ( x-x )2n-1  =  11,235  = 2,25

b)      Deviasi standar

S = ( x-x )2n  = varians  = 2,25  = 1,50%

Jadi simpangan baku keenam tingkat suku bunga tersebut adalah 1,50% pertahun

Interprestasi nilai s:  nilai s = 1,50% artinya bahwa rata-rata penyimpangan keenam tingkat suku bunga tersebut adari rata-ratanya sebesar 1,50%.

2.      Varians dan Deviasi Standar Sampel Yang Telah Dikelompokan

Bila data sampel telah dikelompkan atau telah disusun dalam tabel frekuensi, varians dan deviasi standar/simpangan bakunya dapat dihitung sebagai berikut:

a. Ukuran Sampel Kecil (n ≤  30)

S² = fi( mi-x )2n-1

Deviasi standar

S = ( mi-x )2n-1

b.Ukuran Sampel Besar (n > 30 )

varians

S² =  fi( mi-x )2n

Deviasi standar

S = fi( mi-x )2n

S = simpangan baku (deviasi standar)

n = ukuran sampel

S² = Varians (keragaman)

x   = rata-rata hitung sampel (mean)

f_i =  frekuensi kelas ke- i

m_i = nilai tengah kelas ke-i

Contoh 4-7

Hitunglah simpangan baku omzet penjualan 70 pedagang kaki lima dari data tabel 4.1

Penyelesaian

Tabel 4.6. menghitung simpangan baku omzet penjualan 70 pedagang kaki lima

Omzet (jutaan Rp)	fi	(mi)	fi. mi	(mi – x  )	(mi – x  )2	fi (mi – x  )2
20 – 29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89	1 4 7 13 25 15 5	24,5 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5	24,5 138 311,5 708,5 1612,5 1117,5 422,5	-37,43 -27,43 -17,43 -7,43 2,57 12,57 22,57	1401 752,41 303,80 55,20 6,60 158 509,40	1401 3009,62 2126,63 717,66 165,12 2370,07 2547,02
Total	70		4335			12337,12

Sumber : tabel 4.1

Dihitung terlebih dahulu x  sebagai berikut

x  = ∑fi.min  = 433570  = 61,93

Dari tabel 4.6 diketahui bahwa fi (mi – x  )² = 12337,12 Maka

   S = fi( mi-x )2n  = 1237,1270  = 13,27

Jadi simpangan baku omzet penjualan 70 pedagang kaki lima yang dimaksud  pada tahun 2006 adalah 13,27 juta rupiah

4.2.5        Varians dan Deviasi Standar Populasi

Varians dan deviasi standar populasi berukuran kecil/besar dirumuskan sebagai berikut:

a.       Varians dan deviasi standar data tidak berkolompok

Varians                          

σ ² = ∑(xi- µ)2N  

Deviasi standar

σ  = ∑(xi- µ)2N

x i = nilai masing-masing data

N = ukuran populasi

σ  = Deviasi standar

µ  = rata-rata populasi

b.      Varians dan deviasi standar data yang berkelompok

Varians

σ ² = c² ∑fidi2N  – c^2∑fidiN2

Deviasi Standar

σ  = c ∑fidi2N – ^∑fidiN2

fi  = frekuensi masing-masing kelas/kelas yang ke-i

 di  = deiasi kelas ke-I. dalam satuan interval kelas

c  = interval kelas

N  = ukuran populasi

σ  = deviasi standar populasi

Contoh 4-8

Umur semua pasien yang ditempatkan dalam kamar isolasi disebuah rumah sakit umum adalah 34, 40, 30, 45, 31, dan 36 tahun. Berapa varians dan deviasi standar populasi umur pasien?

Penyelesaian

Tabel 4.7. varians dan deviasi standar populasi umur pasien

Umur  (xi)	xi - µ	(xi - µ)2
34 40 30 45 31 36	-2 4 -6 9 -5 0	4 16 36 81 25 0
216	0	162

 N = 6 ,            ∑xi = 216,       dan ∑(xi - µ)² = 162

Maka

µ = ∑xiN  = 2166  = 36

σ ² = ∑(xi- µ)2N  = 1626  = 27

σ  = ∑(xi- µ)2N  = 27  = 5,20

Jadi variansnya adalah 27 tahun dan deviasi standarnya adalah 5,20 tahun

4.3       Ukuran Penyebaran Relatif

Ukuran penyebaran relatif adalah ukuran penyebaran yang dapat digunakan untuk membandingkan penyebaran dari dua atau lebih kumpulan (distribusi) suatu data yang memiliki satuan yang sama ataupun berbeda. Yang termasuk ukuran penyebaran relatif adalah (1) koefisien dari range, (2) koefisien dari deviasi kuartil, (3)koefisien dari deviassi rata-rata dan (4) koefisien dari deviasi standar yang lebih dikenal dengan nama koefisien variasi. Dibawah ini akan dibahas ukuran penyebaran relatif mulai dari ukuran yang paling banyak digunakan dalam analisis statistik.

4.3.1        Koefisien Variasi

Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpangan baku sekelompok data/pengamatan dengan rata-rata hitung (mean). Koefisien variasi paling banyak digunakan dalam statistik untuk membandingkan kehomogenan/homogenitas sekelompok data dengan kelompok data lainya, baik dengan satuan yang sama ataupun satuan kedua kelompok tersebut berbeda. Semakin kecil koefisien variasinya maka semakin homogeny / seragam, kelompok data tersebut. Maksudnya data-data tersebut terkonsentrasi dekat ke pusat (rata-rata) kumpulan data tersebut. Koefisien variasi untuk sampel dirumuskan sebagai berikut:

KV = sx  x 100%

KV = koefisien variasi

S   = simpangan baku sampel

x    = rata-rata hitung sampel

Contoh 4-9

Pada label susu bayi merek A dan merek B tertera berat netto 400 gram. Hasil pemeriksaan dua buah sampel berukuran 10. Berupa 10 kaleng susu bayi merek A dan 10 kaleng susu bayi merek B. mengenai berat nettonya diperoleh hasil sebagai berikut (dalam gram)

x A = 400gram     x B = 400 gram

sA  = 80 gram      sB  = 125 gram

(a)    Hitunglah koefisien variasi berat netto susu bayi merek A dan merek B tersebut

(b)   Bila kita ingin membeli susu bayi yang berat nettonya sesuai dengan yang tertera pada labelnya yaitu 400 gram, susu bayi merek manakah yang sebaiknya kita pilih? Berikan alas an

Penyelesaian

(a)    Menghitung koefisien berat netto masing-masing susu bayi tersebut

KV_A = sx  x 100%              KV_B = sx  x 100%

    = 80400  x 100%                   = 125400  x 100%

    = 20%                               = 31%

Jadi, koefisien variasi berat netto susu bayi merek A adalah 20% dan koefisien variasi susu bayi merek B adalah 31%

(b)   Oleh karena koefisien variasi berat netto bayi merek A adalah 20%, lebih kecil dari koefisien netto merek B. (KV_A=20% < KV_B=31%). Itu menunjukan bahwa berat netto susu bayi merek A lebih seragam dari pada berat netto susu bayi merek B, maka dari itu kita sebaiknya membeli susu merek A.

Contoh 4-10

Dua sampel yang masing-masing terdiri dari 5 buah sabun mandi merek A dan 5 buah sabun merek B. diukur berat nettonya diperoleh data sebagai berikut (dalam gram):

sabun merek A:  100   102   98   101   99sabun merek B :  95  105  100   106   94

(a)    Hitunglah koefisien variasi untuk sampel A dan koefisien sapel B

(b)   Mana yang lebih seragam dari ke dua sampel tersebut?

Jawab :

(a)    Menghitung koefisien variasi berat netto sabun A dan sabun B

Tabel 4.8. menghitung KV_A dan KV_B

Sabun merek A (XA.i)	XAi - X A	(XAi - X A)2	Sabun merek B (XB,i)	XBi – X B	(XBi – X B)2
100 102 98 101 99	0 2 -2 1 -1	0 4 4 1 1	100 104 98 105 103	-2 2 -4 3 1	4 4 16 9 1
500	0	10	510	0	34

Sumber : data Estimasi

Rata – rata berat netto sampel A dan B

x A = ∑xAin A  = 5005  = 100

x B = ∑xBin B  = 5105  = 102

Deviasi standar berat netto sampel A dan B

SA = (∑Ai-xA )2nA-1  = 105-1  = 1,58

SB = (∑Bi-xB )2nB-1  = 345-1  = 2,92

Koefisien variasi berat netto sampel A dan B

KV_A = sAxB  x 100%                KV_B = sBxB  x 100%

    = 1,58100  x 100%                   = 2,92102  x 100%

    = 1,58%                            = 2,86%                            

Jadi koefisien variasi berat netto sabun merek A adalah 1,58%, koefisien variasi sabun merek B adalah 2,86%

(b)   Oleh karena koefisien variasi berat netto sabun merek A lebih kecil dari koefisien variassi berat netto sabun merek B (KVA=1,58 < KVB=2,86), maka berat netto sampel sabun merek A lebih seragam atau lebih homogeny dari berat netto sampel sabun merek B.

4.3.2        Ukuran Penyebaran Relatif Lainnya

(a)    Koefisien dari range

Koefisien range = xn-x1xn+x1

(b)   Koefisien Deviasi kuartil

Koefisien deviasi = K3 -K1K3+K1

(c)    Koefisien Deviasi rata-rata

Koefisien deviasi rata-rata = ADx