latihan

BAB II

ANALISIS DESKRIPTIF

2.1       Pengertian

Analisis deskriptif adalah analisis yang menggambarkan suat data yang akan dibuat baik data sendiri maupun data secara berkelompok. Tujuan analisis deskriptif untuk membuat gambaran secara sistematis data yang factual dan akurat mengenai fakta-fakta serta hubungan antar fenomena yang diselidiki atau diteliti. Dalam penyajian ini akan dibahas mengenai pengukuran gejala pusat misalkan Mean (rata-rata), Mode dan Median.

2.2.      Rata-Rata (Mean)

Rata-rata hitung atau disingkat dengan mean. Penggunaan rata-rata hitung untuk sampel bersimbul (x  dibaca eks bar). Perhitungan mean dibagi dua yaitu mean data tunggal dan mean data kelompok.

a.      Mean Data Tunggal

Data yang dipakai untuk menghitung mean tunggal hanya sedikit jumlahnya, perhitungannya dengan cara menunjukan semua nilai data dibagi banyaknya data, dengan rumus:

X  = Xin

Xi = jumlah tiap data

n = jumlah data

X  = rata-rata

Contoh : 2-1

Nilai akhir ujian semester dari sepuluh mahasiswa pada mata kuliah statistik semester genap sebuah perguruan tinggi adalah sebagai berikut : 80, 90, 70, 60, 70, 80, 70, 60, 80, 90. Berapakah meanya dari hasil ujian mahasiswa tersebut?

Penyelesaian

X  = Xin  

X  = 80+90+70+60+70+80+70+60+80+9010  =  75010  = 75

Jadi nilai  rata-rata statistik  ke sepuluh mahasiswa tersebut adalah 75

Contoh 2-2

Direktur PT. Maju Sejahtera di Kota Ternate memberikan tunjangan hari raya kepada Sebelas karyawannya, besarnya tunjangan yang diberikan sesuai dengan masa kerjanya. Masing-masing karyawan mendapatkan tunjangan sebesar : 5 juta, 4 Juta, 3 juta, 2 juta, 3,5 juta, 2,5 juta, 2 juta, 3 juta, 2,5 juta, 4 juta, dan 4,5 juta.  Berapakah rata-rata tunjangan yang diterima dari kesebelas karyawan tersebut?

Penyelesaian

X  = Xin  

X  = 5 juta+4 juta+3 juta+2 juta+3,5 juta+2,5 juta+2 juta+3 Juta+2,5 juta+4 Juta+4,5 juta11  =  36 juta11  = 3,27 juta

Jadi rata – rata tunjangan yang diterima sebelas karyawan perusahaan tersebut sebesar 3,27 juta                               

b.      Mean Data Kelompok

Apabila data yang sudah dikelompokan dalam distribusi frekuensi, maka data tersebut akan berbaur sehingga keaslian data itu akan hilang bercampur dengan data lain menurut kelasnya, hanya dalam perhitungan mean kelompok diambil titik tengahnya yaitu setengah dari jumlah ujung bawah kelas dan ujung atas kelas untuk mewakili setiap kelas interval. Hal ini dimaksudkan untuk menghindari kemungkinan data yang ada disetiap interval mempunyai nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari titik tengah. Perhitungan data mean kelompok dapat dicari dengan rumus :

X  = (ti. fi)∑fi  

x  = mean data kelompok

t_i = titik tengah

f_i = frekuensi

Contoh 2-3

Diketahui nilai ujian akhir semester mata kuliah statistik pada Fakultas Ekonomi Universitas Khairun angkatan 2010 yang diikuti oleh 100 mahasiswa seperti tabel 2.1 berikut ini. Berapakah rata-rata kelompok nilai statistik tersebut?

Tabel 2.1 Nilai ujian statistik angkatan 2010

Nilai Interval	Frekuensi (f)
60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94	6 5 10 15 20 28 16
Jumlah	100

Langkah – langkah menjawab

1.      Buatlah tabel dan susunlah data dengan menambah kolom yang diperlukan sebagai berikut

Tabel 2.2 Nilai Ujian Statistik Angkatan 2010

Nilai Interval	Frekuensi (fi)	Titik tengah  (ti)	Jumlah (tifi)
60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94	6 5 10 15 20 28 16	62 67 72 77 82 87 92	372 335 720 1155 1640 2436 1472
Jumlah	100		8130

2.      Berilah notasi statistik angka yang sudah ada untuk memudahkan perhitungan  f_i = 100, t_if_i = 8130

3.      Hitunglah nilai rata-rata dengan rumus           X  = (ti. fi)∑fi  

X  = 8130100  = 81,3

Jadi nilai rata-rata kelompok adalah 81,3

Contoh 2- 4

Teori lain untuk menghitung mean data kelompok dapat dihitung dengan menggunakan rumus :

x  = t₀ + P. ∑(fi.si)∑fi

x  = Mean

t₀ = titik tengah ke 0

f_i = frekuensi

s_i = tanda angka meningkat atau menurun

f_i  = jumlah frekuensi

Tabel 2.3 Nilai Ujian Statistik Angkatan 2010

Nilai Interval	Frekuensi (fi)
60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94	6 5 10 15 20 28 16
Jumlah	100

langkah menjawab

1.      Buatlah tabel baru dan susunlah data seperti berikut:

Tabel 2.4 Nilai Ujian Statistik Angkatan 2010

Nilai Interval	Frekuensi (fi)	Titik tengah  (ti)	si	Jumlah (fisi)
60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94	6 5 10 15 20 28 16	62 67 72 77 82 87 92	-3 -2 -1 0 1 2 3	-18 -10 -10 0 20 56 48
Jumlah	100			86

2.      Pilihlah satu dari titik tengah sembarang, misalya t₀ =  77, kemudian berilah angka 0 pada s_i

3.      Urutkan nilai titik tengah yang lebih kecil dari t₀ dengan angka -1,-2 pada kolom s_i dan nilai titik tengah yang lebih besar dengan angka 1,2,3,4 pada kolom s_i

4.      Hitunglah nilai rata-rata dengan rumus:

x  = t₀ + P. ∑(fi.si)∑fi  =

x  = 77 + 5. 86100  = 77 + 5 (0,86) = 81,3

Jadi nilai rata-rata kelompok 81,3

2.3       Mode

Mode atau disingkat dengan (Mo) adalah nilai dari data yang mempunyai frekuensi tertinggi, atau nilai yang paling banyak keluar, baik data tunggal maupun data  berdistribusi (kelompok)

a.       Menghitung Mode Data Tunggal

Menghitung mode dengan data tunggal dilakukan sangat sederhana, yaitu dengan cara mencari nilai yang sering muncul diantara sebaran data. Ukuran ini sering dipakai untuk rata-rata data kualitatif. Misalnya sebagian besar penyakit AIDS di Papua disebabkan oleh hubungan bebas, Pada umumnya masyarakat Maluku Utara bekerja sebagai petani, sebagian besar mahasiswa Universitas Khairun berusia 21 tahun dan lainnya. Penggunaan mode bagi data kualitatif maupun data kuantitatif dengan cara menentukan frekuensi terbanyak diantara data yang ada.

Contoh 2-5

Diketahui frekuensi masyarakat Kota Ternate yang berkunjung pada Maal Baru di Kota Tersebut setiap malam minggu per jam. Data diambil dari pukul 17.00 sampai 23.00 adalah sebagai berikut : 60; 70; 80;80;90;80 dan 70;

Berdasarkan hasil laporan peristiwa kecelakaan lalu lintas di Kota Ternate  dalam laporan bulanan selama tahun 2009 data sebagai berikut: 25; 30; 20; 23; 24; 30; 20;20; 21; 27;28 dan 29

Jawab :

Mode hasil laporan peristiwa kexcelakaan di Kota Ternate selama tahun 2009 adalah 20 peristiwa, karena muncul sebanyak 3 kali.

Jawab : nilai mode frekuensi kunjungan masyarakat ke Mal baru di Kota Ternate, yaitu pada nilai 80, karena nilai tersebut muncul sebanyak 3 kali.

b.      Menghitung Mode Data Berdistribusi (kelompok)

Apabila kita sudah mengerti mode berbentuk tunggal tadi, maka kita akan lebih mudah memahami mode berbentuk distribusi (kelompok). Dalam hal ini dapat dihitung dengan rumus :

M_o = B_p + P. F1F1+F2

M₀ = Nilai Mode

B_p = Batas Bawah kelas yang mengandung modus

P = Panjang kelas nilai modus

F₁ = Selisih antara frekuensi mode (f) dengan frekuensi sebelumya (f_sd)

F₂ = Selisih antara frekuensi mode (f) dengan frekuensi sesudahnya (f_sd)

Contoh 2-6

Diketahui data distribusi sebagai berikut

Tabel 2.5 Nilai Ujian Statistik Angkatan 2010

Nilai Interval	Frekuensi (fi)
60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94	6 5 10 15 20 28 16
Jumlah	100

Tandailah (B_p, P, F₁, F₂) pada tabel 2.5 kemudian hitung modenya

Langkah menjawab

1.      Carilah jumlah frekuensi (f) mode yang terbanyak dalam gugusan data yang mendekati rerata, yaitu 28. Nilai mode terletak dikelas interval ke – 6

2.      Carilah batas bawah kelas mode (Bb) →  Bb =1/2 (84 + 85) = 84,5

3.      Hitunglah panjang kelas mode (P) = →  P = 85 – 89 = 5

4.      Carilah (F₁), yaitu selisih antara frekuensi mode dengan frekuensi sebelumnya →        F₁= f - f_sb = 28 – 20 = 8

5.      Carilah (F₂), yaitu selisih antara frekuensi mode dengan frekuensi sesudahnya → f - f_sd = 28-16 = 12

6.      Hitung mode dengan rumus : M_o = B_p + P. F1F1+F2  = 84,5 + 5. 88+12  = 86,5

Jadi mode data diatas adalah 86,5

2.4       Median

Median (Me) ialah nilai tengah dari gugusan data yang telah diurutkan (disusun) mulai data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya dari data terbesar sampai data terkecil. Median dibagi menjadi dua perhitungan yaitu: median data tunggal dan median data berdistribusi (berkelompok).

a.      Mencari Median Data Tunggal

Mencari median data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya dari data terbesar sampai data terkecil sampai data terkecil, kemudian posisi median dicari dengan rumus : Ms = ½ (n + 1). Dimana n = jumlah data.

Contoh 2-7

Untuk data ganjil

Berikut ini adalah 11 nilai hasil ujian statistik  mahasiswa pada Fakultas Ekonomi

70; 50 ; 60; 80 ; 40; 50; 60; 70; 60; 90; 30

Penyelesaian

Langkah 1: urutkan data dari yang terkecil sampai terbesar

30 ; 40 ;50 ;50; 60; 60 ;60; 70; 70; 80; 90

Langkah 2: carilah posisi median dengan rumus : Ms =  ½ (n + 1).

Me = ½ (11 + 1) = 6 (posisi pada urutan ke 6)

Jadi letak Me pada urutan ke 6 dengan besar median adalah 60

Contoh 2-8

Untuk data genap

Berikut ini adalah 10 nilai hasil ujian statistik  mahasiswa pada Fakultas Ekonomi

70; 50 ;  80 ; 40; 50; 40; 70; 60; 90; 30

Langkah 1: urutkan data dari yang terkecil sampai terbesar

30 ; 40 ; 40; 50 ;50;  60 ; 70; 70; 80; 90

Langkah 2: carilah posisi median dengan rumus : Ms =  ½ (n + 1).

Me = ½ (10 + 1) = 5,5 (posisi pada urutan ke 5,5)

Besar median pada urutan 5,5 dapat dicari dengan rumus Me = ½ (50 + 60) = 55

Jadi besar median data tersebut  55

b.      Mencari Median Data Kelompok

Mencari median data kelompok ini perlu dibuat susunan distribusi frekuensi terlebih dahulu dengan cara mengurutkan data-data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya dari data terbesar sampai data terkecil, kemudian menghitung rentangan (R), jumlah kelas (K) dan panjang kelas interval (P). kemudian membuat distribusi frekuensi dilanjutkan mencari nilai mediannya dengan rumus:

Me = B_b + P . 12n-jff

Me = nilai median

B_b = Batas bawah kelas sebelum nilai median

P  = Panjang kelas nilai median

n = jumlah data

f = banyaknya frekuensi kelas median

Jf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas median

Contoh 2-9

Diketahui nilai ujian akhir semester mata kuliah statistik pada Fakultas Ekonomi Universitas Khairun angkatan 2010 yang diikuti oleh 100 mahasiswa seperti tabel 2.6 berikut ini. Berapakah median nilai statistik tersebut?

Tabel 2.6 Nilai Ujian Statistik Angkatan 2010

Nilai Interval	Frekuensi (f)	Frekuensi kumulatif
60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94	6 5 10 15 20 28 16	6 11 21 36 56 84 100
Jumlah	100

Sumber data: 2.1

Penyelesaian

Diketahui jumlah data n = 100

Interval kelas = 5

Langkah 1: Carilah nilai interval yang mengandung unsur median dengan rumus ½ n =  ½ 100 = 50. Jadi median diperkirakan terletak pada kelas ke-5

Langkah 2 : carilah batas bawah kelas median (B_b): batas bawah kelas median adalah batas bawah kelas ke 5 = ½ (79 + 80) = 79,5

Langkah 3 : carilah frekuensi kelas median : (f) = 20

Langkah 4 : carilah jumlah frekuensi kumulatif  sebelum kelas median : (jf) = 36

Langkah 5 : hitunglah nilai median dengan rumus

Me = B_b + P . 12n-jff

Me = 79,5 + 5 12 100-3620                

Me = 79,5 + 5 (0,7)

Me = 79,5 + 3,5

Me = 83

Jadi nilai median data diatas adalah 83